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Analytical procedure to determine the self-referred lacunarity function for simple shapes.

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arXiv:cond-mat/0501501v1 [cond-mat.stat-mech] 20 Jan 2005

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Z (2) σ 2 (r ) = + 1, [Z (1)]2 [?(r )]2

Λ(r ) =

? ? Z (1) ? Z (2) ? ? ?×? ? × ?? ??? ??× ? ? ×× ×?? ?? ?? ? σ 2 (r ) ? ?(r ) ? ?× ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?(r ) ? σ 2 (r ) ? ?? ?? ? ?? A(x, y, r) ? ? ?×? ? ? ? ? ? ?× ? ? ?? ? ? ?× r ? ? ?× ?? ? × ? ? ?? ?? (x, y )? ? ? ????? ? ? ?
?(r ) = σ 2 (r ) =
x y

A(x, y, r )dxdy
x y

dxdy dxdy

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x y [?(r ) ?

A(x, y, r )]2 dxdy

x y

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r
y III r I

y

III

I

II 0 r L-r L x

II x

0

L-r

r

L

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??? ? ? ??× ? ? ??? ×??? ?? ? × ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ?× ? ? r ∈ [0, L/2] ? ? ? r ∈ [L/2, L]? ? ×? ? ? ? ??× ? ? ? ?? I ? ???? ? ?? ?? ? ? ? ? ???? ?? ? ×?? ? ? ? ?? ?? ? ? ??× II ? III ? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? × ? ?? × ? ? ??

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x ? y ?

?×? ?? ?? ?? r ∈ [0, L/2]? ?

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x ∈ [r, (L ? r )], ∈ [r, (L ? r )] ∈ [0, r ]

2 A1 I (x, y, r ) = 4r ,

2 A1 II (x, y, r ) = 2r + 2ry,

x ∈ [r, (L ? r )],

2 A1 III (x, y, r ) = r + [r + (L ? y )]x + r (L ? y ),

x ∈ [0, r ],

y ∈ [(L ? r ), r ]

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x y 1 i Ai (x, y, r )dxdy x y

? ? ×? ? ? ?

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?1 (r ) = = =

dxdy

1 1 1 A1 I (x, y, r ) + 4AII (x, y, r ) + 4AIII (x, y, r )dxdy L2 r 2 (r ? 2L)2 L2

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??? ? ??× II ? III ? ?? ? ? ?? ? ? × ? ×× ?? ???? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? II ? III ? ???? ??? ? ? ×??? ? ? ? ? ? ? × ? ?? ? ? ? ?? ??× ? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ?
2 σ1 (r ) =

1 2 (A1 I (x, y, r ) ? ?1 (r )) L2 2 + 4(A1 II (x, y, r ) ? ?1 (r ))

???

2 + 4(A1 III (x, y, r ) ? ?1 (r )) dxdy r 5 (r ? 6L)(3r ? 4L)(3r ? 2L) = ? 9L4

?

1

1 2 (r ) 4L2 (5r ? 6L)2 σ1 + 1 = [?1 (r )]2 9(r ? 2L)4

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Λ1 (r ) =

? ? ?? ? ?? ?? ? × ?? ?? ?? ?? r ∈ [L/2, L]? ??? ? ? ? ? ×? ? ? × ?? ? ? ?? ?? ?? ?× ? ? ?
2 A2 I (x, y, r ) = L ,

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A2 i ?? ? ??×

x ∈ [(L ? r ), r ],

y ∈ [(L ? r ), r ] y ∈ [0, (L ? r )]

A2 II (x, y, r ) A2 III (x, y, r )

= L(r + y ),
2

x ∈ [(L ? r ), r ],

= r + [r + (L ? y )]x + r (L ? y ), x ∈ [0, (L ? r )], y ∈ [r, L]

? ?

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?2 (r ) =

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r 2 (r ? 2L)2 L2 (3L ? r )(r ? L)3 (3r 4 ? 14r 3 L + 12r 2 L2 + 6rL3 ? L4 ) 2 σ2 (r ) = ? 9L4 2 3 2 3 2 L (2r ? 6rL + L ) Λ2 (r ) = 9r 4 (r ? 2L)4

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4L2 (5r ?6L)2 9(r ?2L)4 ,

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r ∈ [0, L/2]; r ∈ [L/2, L].

Λ(r ) =

L2 (2r 3 ?6rL2 +L3 )2 , 9r 4 (r ?2L)4

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1.1

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×?? ? ? ? ? ? L = 100? ?

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L=100 Λ1(r)

1.075 Lacunarity (dimensionless)

Λ2(r)
1.05

1.025

1

0

10

20

30

40 50 60 Radius (units of length)

70

80

90

100

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L ? 100

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?(r ) =
k

Aj (x, y, r )dk , k dk

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σ 2 (r ) =
k

[

Aj (x, y, r ) ? ?(r )]2 dk , k dk

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dk × ?

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0≤r≤
L2 2

?Ak = 4L1L2 + L22 ? ? ?

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r L2?r L1+r IV III L1

r V VI 2r r I ?(L2?2r) L1 L2 II

1

0

VII

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AI (x, y, r ) = 4r 2 AII (x, y, r ) = 4r 2

x ∈ [r, L2 ? r ], x ∈ [r, L2 ? r ],

y ∈ [?(L2 ? 2r ), 0] y ∈ [0, L1] y ∈ [L1, L1 + r ]

AIII (x, y, r ) = (2r + L1 ? y )2r

x ∈ [r, L2 ? r ],

IV

AV (x, y, r ) = (r + x)(2r ) x ∈ [0, r ],

y ∈ [2r, L1] y ∈ [r, 2r ] y ∈ [0, r ]

AV I (x, y, r ) = 4r 2 ? y (r ? x) x ∈ [0, r ], AV II (x, y, r ) = 4r 2 ? y (r ? x) x ∈ [0, r ],

?

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k (AI

?×? ?

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?I (r ) = =

+ 4AII + 4AIII + 8AIV + 8AV + 8AV I + 4AV II )dk Ak 2 2 2 r (4L2 ? 4rL2 + 3r + 16L1L2 ? 8rL1) . L2(4L1 + L2)

? ?

L1 = 2L

L2 = L ?? × ??? ? ? ?I (r ) =

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r 2 (36l2 ? 20Lr + 3r 2 ) . 9L2

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?? ? ? ?? ??× ? ? σ 2 (r ) × ? ? ?
2 σI (r ) = k

[AI ? ?I (L1, L2, r )]2 + . . . + [4AV II ? ?I (L1, L2, r )]2 dk

Ak 1 = ? (?384L2L12 + 576rL12 ? 432r 2 L1 ? 288L1L22 9L22 (4L1 + L2)2 +496rL1L2 ? 216L2r 2 ? 48L23 + 81r 3 + 124rL22 )r 5 .

? ??? ? ? ?

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2 σI (r ) = ?

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r 5 9r 3 ? 120Lr 2 + 380rL2 ? 240L3 . 81L4

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ΛI (r ) =

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4L2 (?300Lr + 59r 2 + 324L2 ) . (36L2 ? 20Lr + 3r 2 )2

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L2 2

≤ r ≤ L2 x ∈ [L2 ? r, r ], y ∈ [?(L2 + 2r ), 0] x ∈ [L2 ? r, r ], y ∈ [0, L2]

AI (x, y, r ) = 2(2rL2) ? L22

AII (x, y, r ) = (2r + y ? L2)L2 + (L2 ? y )2r AIII (x, y, r ) = L2 × 2r x ∈ [L2 ? r, r ],

y ∈ [L2, L1 + L2 ? 2r ]

AIV (x, y, r ) = L2(L1 + L2 ? y ) x ∈ [L2 ? r, r ], y ∈ [L1 + L2 ? 2r, L1 + L2 ? r ] AV (x, y, r ) = (L1 + L2 ? y )(r + x) x ∈ [0, L2 ? r ], y ∈ [L1 + L2 ? 2r, L1 + L2 ? r ] AV I (x, y, r ) = 2r (r + x) x ∈ [0, L2 ? r ], y ∈ [L2, L1 + L2 ? 2r ]

AV II (x, y, r ) = 2r (r + x) + (r ? x)(L2 ? y ) x ∈ [0, L2 ? r ], y ∈ [L2 ? r, L2] AV III (x, y, r ) = 4r 2 ? (2r + y ? L2)(r ? x) x ∈ [0, L2 ? r ], y ∈ [0, L2 ? r ]

(L1+L2?r) V (L1+L2?2r) VI L2
VII

IV

III

II

(L2?r)

2

0

VIII

I ?(L2+2r)

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L2 2

≤ r ≤ L2?

?II (r ) =

r 2 (?20rL + 36L2 + 3r 2 ) 9L2

2 σII (r ) =

1 (120r 7 L ? 12L7 r ? 9r 8 + 1248r 5 L3 + 452L5 r 3 81L4 +L8 ? 36L6 r 2 ? 604r 6 L2 ? 1128L4 r 4 )

ΛII (r ) =

L2 ?12 L5 r ? 192 r 5 L + 452 L3 r 3 + L6 ? 36 L4 r 2 + 12 r 6 + 168 r 4 L2 r 4 (?20 rL + 36 L2 + 3 r 2 )2

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L2 ≤ r ≤

L1+L2 2

AI (x, y, r ) = 2L2(2r ) ? L22 AII (x, y, r ) = 4rL2 ? L22

x ∈ [0, L2],

y ∈ [?L2, 0]

x ∈ [0, L2],

y ∈ [0, r ? L2] y ∈ [r ? L2, L1 ? r ] y ∈ [L1 ? r, r )] y ∈ [r, L1]

AIII (x, y, r ) = L2(r + y ) + (r ? y )2r AIV (x, y, r ) = (L1L2) + (r ? y )2r

x ∈ [0, L2],

x ∈ [0, L2],

AV (x, y, r ) = (L1 ? (y ? r ))L2 x ∈ [0, L2],

?III (r ) =

4L 1 2 rL + L2 + r 2 3 9 3

L1 V r IV (L1?r) III (r?L2) 0 II

3
?L2

I

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?? ?? ? L2 ≤ r ≤

(L1+L2) 2

?

2 σIII (r ) = ?

112 4 76 4 124 2 2 100 3 196 3 r ? r L + Lr + L r? L 27 9 9 27 81 64 r 4 + 320 r 2 L2 ? 348 Lr 3 ? 204 L3 r + 37 L4 (12 rL + L2 + 6 r 2 )2

ΛIII (r ) = ?3

????

??? ?? ?

L1+L2 2

≤ r ≤ L1 x ∈ [0, L2], y ∈ [?L2, 0] y ∈ [0, L1 ? r ]

AI (x, y, r ) = 2L2(2r ) ? L22

AII (x, y, r ) = 2rL2 + (r ? y ? L2)L2 + (y + r )L2 x ∈ [0, L2], AIII (x, y, r ) = L1L2 + 2rL2 + (r ? y ? L2)L2 AIV (x, y, r ) = L1L2 + (r ? y )2r x ∈ [0, L2], x ∈ [0, L2],

y ∈ [L1 ? r, r ? L2]

y ∈ [r ? L2, r )] y ∈ [r, L1]

AV (x, y, r ) = (L1 ? (y ? r ))L2 x ∈ [0, L2], ?IV (r ) =

4L 1 2 rL + L2 + r 2 3 9 3

68 2 2 20 3 236 3 212 4 4 2 r L ? Lr ? L r+ L σIV (r ) = ? r 4 + 9 9 27 27 81 ΛIV (r ) = 3 L 256 r 2 L + 28 r 3 ? 228 rL2 + 71 L3 (12 rL + L2 + 6 r 2 )2

L1 r

V IV

(r?L2) III (L1?r) 0 II

4
?L2

I

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(L1+L2) 2

≤ r ≤ L1?

????

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L1 ≤ r ≤ L1 +

L2 2

L1

(r?L1) (L1+L2?r) IV III

(r?L2) V II

0

5

?(r?L1) ?[L2?(r?L1)]

VI I

??

?

??×× ?

??× ?? ?

?? ?? ? L1 ≤ r ≤ L1 +

L2 2

?

AI (x, y, r ) = 2(2rL2) ? L22

x ∈ [r ? L1, L1 + L2 ? r ],

y ∈ [?L1 ? L2 + r, ?r + L1] AII (x, y, r ) = L1L2 + 2rL2 + (r ? y ? L2)L2 x ∈ [r ? L1, L2 + L1 ? r ], y ∈ [?r + L1, r ? L2] AIII (x, y, r ) = L1L2) + (r ? y )2r x ∈ [r ? L1, L2 + L1 ? r ], y ∈ [r ? L2, L1] y ∈ [r ? L2, L1]

AIV (x, y, r ) = L1L2 + (r ? y )(r + x + L1) x ∈ [0, r ? L1], AV (x, y, r ) = L1L2 + (r + x + L1)L2 + (r ? y ? L2)L2 y ∈ [0, r ? L2] AV I (x, y, r ) = L1L2 + (r + x + L1)L2 + (r ? y ? L2)L2 y ∈ [?(r ? L1), 0]

x ∈ [0, r ? L1],

x ∈ [0, r ? L1],

?V (r ) =

?100 L3 r + 90 r 2 L2 ? 24 Lr 3 + 2 r 4 + 49 L4 9L2

2 σV (r ) = ?

2 (398 L8 + 6704 L6 r 2 + 5717 L4 r 4 + 448 r 6 L2 81L4 ?2144 r 5 L3 ? 8516 L5 r 3 ? 2542 L7 r ? 48 r 7 L + 2 r 8 )

ΛV (r ) =

L2 1605 L6 + 5412 L4 r 2 + 1662 r 4 L2 + 40 r 6 ? 432 r 5 L ? 3320 L3 r 3 ? 4716 L5 r (?100 L3 r + 90 r 2 L2 ? 24 Lr 3 + 2 r 4 + 49 L4 )2

????

??? ?? ?

L1 +

L2 2

≤ r ≤ L1 + L2 x ∈ [L1 + L2 ? r, r ? L1],

AI (x, y, r ) = 4L1L2 + L22

y ∈ [?(r ? L1), ?(L1 + L2 ? r )] AII (x, y, r ) = L22 + 3L1L2 + (r ? y ? L2)L2 y ∈ [?(L1 + L2 ? r ), r ? L2] AIII (x, y, r ) = L1L2 + (r ? y )(2L1 + L2) x ∈ [L2 + L1 ? r, r ? L1], y ∈ [r ? L2, L1] AIV (x, y, r ) = L1L2 + (L1 + r + x)(r ? y ) x ∈ [0, L2 + L1 ? r ], y ∈ [r ? L2, L1] x ∈ [?(L2 + L1 ? r ), r ? L1],

AV (x, y, r ) = L1L2 + (r ? y ? L2)L2 + (L1 + r + x)L2 x ∈ [0, L2 + L1 ? r ], y ∈ [0, r ? L2] AV I (x, y, r ) = L1L2 + (r ? y ? L2)L2 + (L1 + r + x)L2 x ∈ [0, L2 + L1 ? r ], y ∈ [?(L1 + L2 ? r ), 0]

L1 IV (r?L2)

III

V

II

0

6

?(L1+L2?r)

VI I

?(r?L1)

??

?

??×× ?

??× ?? ?

?? ?? ? L1 +

L2 2

≤ r ≤ L1 + L2?

?V I (r ) =

?100 L3 r + 90 r 2 L2 ? 24 Lr 3 + 2 r 4 + 49 L4 9L2

2 σV I (r ) = ?

2 (11804 L6 r 2 + 6881 L4 r 4 + 464 r 6 L2 ? 2360 r 5 L3 81L4 ?11766 L5 r 3 ? 7042 L7 r ? 48 r 7 L + 2 r 8 + 2273 L8 )

ΛV I (r ) = ?

L2 4788 L4 r 2 + 666 r 4 L2 ? 8 r 6 ? 3180 L3 r 3 ? 4284 L5 r + 2145 L6 (?100 L3 r + 90 r 2 L2 ? 24 Lr 3 + 2 r 4 + 49 L4 )2

????

??? ?? ?

L1 + L2 ≤ r ≤ 2L1 + L2 x ∈ [0, L2], x ∈ [0, L2], y ∈ [?L2, 0] y ∈ [0, r ? L1 ? L2] y ∈ [r ? L1 ? L2, L1]

AI (x, y, r ) = 4L1L2 + L22 AII (x, y, r ) = 4L1L2 + L22

AIII (x, y, r ) = 3L1L2 + L22 + (r ? y ? L2)L2 x ∈ [0, L2], 31 2 20 2 L + rL ? r 2 9 9 9 4 (2 L ? r ) (5 L ? r )3 81

?V II (r ) =

2 σV II (r ) = ?

??

L1

III

(r?L1?L2) II 0

7
?L2

I

??

?

??×× ?

??× ?? ?

?? ?? ? L1 + L2 ≤ r ≤ 2L1 + L2?

ΛV II (r ) = ?

3L 13 L3 ? 780 rL2 + 4 r 3 + 48 r 2 L (31 L2 + 20 rL ? 2 r 2 )2

??? ? ? ? ? ? ×???× ?? ? ? ????? ? ??? ×× ??

??××? ?

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??×× ×

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Λ(r ) =

? ?300Lr +59r 2+324L2) ? ΛI (r ) = 4L2( ? ? (36L2 ?20Lr +3r 2)2 ? ? ? ? ? ? ? ? L2 (?12 L5 r ?192 r 5 L+452 L3 r 3 +L6 ?36 L4 r 2 +12 r 6 +168 r 4 L2 ) ? ? ? ΛII (r ) = ? r 4 (?20 rL+36 L2 +3 r 2 )2 ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 L2 ?348 Lr 3 ?204 L3 r +37 L4 ? ? ? ΛIII (r ) = ?3 64 r +320 r(12 ? ? rL+L2 +6 r 2 )2 ? ? ? ? ? ? ? ? L(256 r 2 L+28 r 3 ?228 rL2 +71 L3 )

? ??? ×??? ? ?? ?? ?×? ?????? ? × ??? ? ? ? × ? ? × ?? ? ?? ? ?? ? ?? × ????? ?

(12 rL+L +6 r ) ? ? ? ? ? ? ? ? L2 (1605 L6 +5412 L4 r 2 +1662 r 4 L2 +40 r 6 ?432 r 5 L?3320 L3 r 3 ?4716 L5 r ) ? ? ? ΛV (r ) = ? (?100 L3 r +90 r 2 L2 ?24 Lr 3 +2 r 4 +49 L4 )2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? L2 (4788 L4 r 2 +666 r 4 L2 ?8 r 6 ?3180 L3 r 3 ?4284 L5 r +2145 L6 ) ? ? Λ ( r ) = ? ? V I ? (?100 L3 r +90 r 2 L2 ?24 Lr 3 +2 r 4 +49 L4 )2 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 ? r 2 L) ? ? ΛV II (r ) = ? 3L(13 L ?780 rL +4 r +48 2 (31 L2 +20 rL?2 r 2 )

ΛIV (r ) = 3

2

2 2

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2 r ∈ [0, L 2 ] 2 r ∈ [L 2 , L2] L2 r ∈ [L2, L1+ ] 2 L2 r ∈ [ L1+ , L1] 2 L2 2 ]

r ∈ [L1, L1 + r ∈ [L1 +

L2 2 , L1

+ L2]

r ∈ [L1 + L2, 2L1 + L2]
× ? ?? ?? ? ?? ? ???

?

??× ?? ?

? ??? ? ? ?? ? ?? ? ?

1.15 Lacunarity (dimensionless)

1.1 I II III IV V VI VII

1.05

1 0 25 50 75 100 125 150 Radius (units of length) 175 200 225 250

??

??

? ? ??? ??? ? ?? ? × ? ?? ?? ? 50 ?? ?× ? ? ? ? ? ×? ? ? ???

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? ?× ??× L1 ? L2 ? 100

??




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